ペットシッター登録完了後、動物取扱業「未登録」から「登録済み」に変更することは可能ですか？

はい、可能です。

ペットシッター登録後、アプリのプロフィールタブにある [動物取扱業の登録] から、動物取扱業の登録「あり」に変更することができます。